答えが必ず「４９５」になります。
そんな「引き算の授業」をしてみてはいかがでしょう。
繰り下がりのある筆算の練習にもなります。
※この計算については研数学館が開催する「算数・数学講演会」で知りました。
2011年～2015年の頃だったと思います。
毎回、算数・数学の授業づくりに大変役立つお話をいただきました。
この場をお借りして感謝申し上げます。
研数学館のセミナーはこちら 一般財団法人 研数学館 (kensu.or.jp)
概要
答えが「４９５」になる計算は以下のようにします。
１．０～９までの10この数字から３つ選ぶ。
２．その数字を使って、最も大きい数と最も小さい数をつくる。（３位数）
※０を選ぶと２位数。後述）
３．引き算をする。
式は２でつくった（最も大きい数）－（最も小さい数）。
答えは必ず４９５になります。例えば・・・
10この数字から、（３，６，８）を選んだとします。
最も大きい3位数は（８６３）。最も小さい数は（３６８）です。
引き算は、８６３－３６８。
答えは、４９５になりました。
たまたまでしょうか。
数字を選び直して（２、４、７）でやってみます。
最も大きい数は（７４２）。最も小さい数は（２４７）。
７４２－２４７ をします。
やはり、４９５ になりました。
これも、たまたまでしょうか。
以下は、授業シナリオです。
※５年生での実践をもとにしています。
授業シナリオ
休み時間のうちに板書しておきます。
日付、及び今日の授業のタイトル（４９５になる計算）です。
それを見て、子ども達が席に着き始めました。
授業開始。
T：答えが必ず「４９５」になる引き算があります。
子ども達は、どういうこと？ といいたげな顔をしています。
続けます。
T：まず、０～９の数字の中から３つ選びます。
例えば・・・３，６，８ を選んだとしましょう。
Ri-せんこの3つの数字を並べると3桁の数になりますね。
その中で、一番大きい数をノートに書いてごらんなさい。
ノート指導は大切です。
日付とタイトルを書いた後、どのように書くのか指示します。 ⇒右図
一番大きい数を「８６３」と書いているでしょうか。
隣同士で確かめ合うようにします。ペア学習です。
次に書くのは、最も小さい数。
「３６８」の下に横線を定規で引かせたら、
さあ引き算をしてみましょう、と投げかけます。
ホントだ。
４９５になった、と驚いている子どもに交じって、こんな反応があります。
Aさん先生、「４９５」になったのはたまたまでしょ。
そうかもしれません。
数字を変えて（２、４、７）でやってみます。
隣のスペースに自分でやるように指示します。
さーっと子ども達のノートを見ていきます。
答えの正誤をチェック。
指示通りにきれいに書いてるノートはほめます。
巡視中、つぶやきが耳に入ってきます。
あれ？
やっぱり４９５だ。
キツネにつままれたようになっている子ども達。
このようになるわけをおさえておきましょう。
４９５になる仕組み
一旦、授業シナリオから離れます。
引き算の答えが４９５になる仕組みについて、です。
任意に選んだ数字を大きい順にA、B、Cとします。（但、C≠０）
それによってできる最大の３位数は、① 100A + 10B + C
最小は、② 100C + 10B + A と表せます。
引き算は、① － ②。
整理すると、99（AーC）となります。
AーC＝５ のとき、
つまり、選んだ数字の最大と最小の差が５だと、
引き算の答えは、その９９倍の「４９５」になります。
（３，６，８）と（２、４、７）を例に挙げたのは、
選んだ数字の差がどちらも５なので、口上のとおりになるからです。
子ども達が「４９５になったのは、たまたま」というのは、そのとおりで、
AーC ≠５ の場合は、４９５にはなりません。
その場合はどうするか？
話を授業シナリオにもどします。
４９５にならない時は…
なんか、怪しいなぁ・・・
そんな声のする方へ目をやると、手が挙がりました。
子ども先生は、たくらんでると思います。
ぼくが数字を選んでいいですか。（１，２，７）でやってみてください。
「たくらんでいる」とは、おだやかではないですね。
でも、数字を変えてみたら、というのは授業を深める発言です。大いにほめます。
さっそく、やってみます。
式は７２１ － １２７ 答えは５９４。
確かに「４９５」にはなりません。
そんなときは、
その「５９４」を使って最大と最小の数をつくります。
つまり、９５４ と ４５９。
式 ９５４ー ４５９
答えは、４９５になりました。
「 4９5」 にならないときは、その答えの数字を使って最大と最小の数をつくる。
進め方について付け足しの話をしていると、首を傾げている子がいました。
Ri-せん〇〇さん、何か疑問に思うことが浮かんでいるのかな？
子ども数字は０を選んでもいいんでしたよね。
例えば、０、１、７にしたらどうなるのかなって・・・。
０を選んだ場合
よくぞ気が付いてくれました。
その発言で授業が更に前へ進みます。いっぱいほめます。
Ri-せんじゃあ、（０、１、７）でやってみましょう。
自分で確かめたい人はどうぞ、にします。
すぐにあれ？ と戸惑う声がしました。
最大の数の「７１０」はいいとして、最小は「０１7」でいいのか？
何かヘンだな、そんな空気。
Ri-せんもう一つの「０１７」。 これ、どうしましょう。
賢い子がいるものです。手がすっと挙がりました。
子ども「０１７」の「０」は百の位を０と見て、１７として計算すれば？
なるほど、なるほど。それでいこう。
筆算再開。・・・答えはやはり「4９5」になりました。
Ri-せん今のところみんな「４９５」になってますが、
そうならない場合もあるんじゃないか、と思っている人いるでしょう？
投げ掛けてみると、ぱらぱらと手が挙がります。
これは確かめないといけません。
この数字を選べば「４９５」にはならないかもしれない。
いろいろと試してみることにします。
繰り下がりのある引き算の練習にもなります。
「終わり」は示しておきます。
とりあえず３回したら鉛筆を置いてもいいことにしました。
共有
頃合いをみて「個」の活動から「全体」に戻します。
どんな数字を選んでも最後は「４９５」になる。
その検証をします。
指名された子どもが書いた筆算で黒板はいっぱいになっています。
※右の写真はイメージです。
数字を３つ選ぶ組み合わせはたくさんあります。
（０、３、５）、（４、８、９）、（２、６、８）・・・
同じものは出ていないようにしてあります。
では、共有していきましょう。
Ri-せん黒板を見て一言、言いましょう。
座席の順番で当てていきます。「挙手」に頼ってはいけません。
いずれ自分の番が回ってきますから子ども達は考えます。
C１：答えが全部「４９５」になっています。
確かにそう。例外は今のところないようです。
C２：どういう仕組みでそうなるのか、不思議です。
そう、不思議だよね。 共感してそこでとどめておきます。
C３：筆算が１回で「４９５」になるのは、数字の差が５になっているときです。
ここは立ち止まります。
Ri-せん今すごい発見を言ってくれたんですけど、分かりましたか？
詳しい説明を求めると、
（０、３、５）は、選んだ数字の最大と最小の差が５になっている。（４、８、９）も同じ。
その場合、答えが「４９５」になっている、と言いました。
T：よくそこに気が付きましたね。すごいなぁ。
発表が続きます。
女子答えが「６９３」になると、
「４９５」になるまでは同じ筆算になっていきます。
どういうことか。
前に出て来てその部分を指してくれました。
（１、８、９）の２つ目以降の筆算は、（２、７、９）の筆算と同じになっています。
あっ！
どうしたの、と聞いてみると「すごい発見をしちゃった」と言います。
（１、８、９）の筆算の答えを横に見ていくと・・・
「９」が浮かんできました。
７９２⇒６９３⇒５９４⇒４９５は、９ずつ減っているんです。
すると、
（０、３、９）で筆算をした子どもの手が挙がりました。
初めの引き算が「８９１」。
次は「７９２」だからやっぱり９ずつ減っていると言います。
「９」は、この計算の仕組みに関係する数のようです。
ちなみに、
８９１、７９２、６９３、５９４、４９５は全て９の倍数です。
９で割り切れる、という発言はありませんでした。
反論が出た場面もありました。
筆算の回数が多いものは、選んだ数の差が大きい場合です。
すると、
Bさん（０、１、２）でやってみたら筆算は５回でした。差は２です。
だから、差の大きさと筆算の回数は関係がないと思います。
（１、２、３）の場合も同様で、
差が２なのに筆算は５回もしてやっと「４９５」になったと言います。
差の大きさと筆算の回数にはどんな関係があるのでしょうか。
選んだ数の差と筆算の回数
授業では深入りを避けます。
興味がある人は、家で調べるよう投げかけました。
ここでは、教材研究としておさえておきます。
10この数字から３つ選び、大きい順に（A、B、C）とします。
AとCの差を「ｎ」としたとき、C＝Aーｎとなって（A、B、C）は【A、B、（Aーｎ）】と表せます。
これを使って3位数をつくると、
① 最大の数 100A + 10B + （Aーｎ）
② 最小の数 100（Aーｎ） + 10B ＋ A となります。
引き算は ① ー ②
その答えは、「９９ｎ」です。
すなわち、最初に行う引き算の答えは、選んだ数字の差の９９倍になります。
答えが「４９５」になるまでの筆算の回数を以下に整理してみます。
※ nは、選んだ３つの数字の最大と最小の差です。
| 筆算の回数 | 初めの筆算 | ２回目の筆算 | ３回目の筆算 | ４回目の筆算 | ５回目の筆算 |
| １回 | ｎ＝５のとき 答え ４９５ | 無 | |||
| ２回 | ｎ＝６のとき 答え ５９４ | ９５４－４５９ 答え ４９５ | 無 | ||
| ３回 | ｎ＝７のとき 答え ６９３ | ９６３ー３６９ 答え ５９４ | ９５４－４５９ 答え ４９５ | 無 | |
| ｎ＝４のとき 答え ３９６ | 同上 | 同上 | 無 | ||
| ４回 | ｎ＝３のとき 答え ２９７ | ９７２ー２７９ 答え ６９３ | ９６３ー３６９ 答え ５９４ | ９５４－４５９ 答え ４９５ | 無 |
| ｎ＝８のとき 答え ７９２ | 同上 | 同上 | 同上 | 無 | |
| ５回 | ｎ＝２のとき 答え １９８ | ９８１ー１８９ 答え ７９２ | ９７２ー２７９ 答え ６９３ | ９６３ー３６９ 答え ５９４ | ９５４－４５９ 答え ４９５ |
| ｎ＝９のとき 答え ８９１ | 同上 | 同上 | 同上 | 同上 |
筆算が５回になるのは、選んだ数字の差が２と９のとき。
筆算が４回になるのは、３と８のとき。
でした。
数字の差が大きいと筆算の回数が多くなる、とは一概にいえないことが分かります。
授業シナリオに戻ります。
終末
今日の授業について感想を言ってもらいました。
この活動から発展するような課題が出ることを期待してのことですが、難しいものです。
そこで、こちらからタネを蒔くことにします。
Ri-せん「９」は不思議な数だなぁ、と先生はときどき思います。
続けます。
T：実は、答えが必ず「９」になる引き算があります。
今度は、数字を２つ選びます。
２桁の数をつくって引き算するんです。
（いくつかを例示）
もう一つ。
今度は数字を４つ選んで４桁の数をつくります。
Ri-せん引き算を続けていくと・・最後は必ず□□□□になります。
その数は何でしょう。 ※
その数は「９」で割り切れます。
「９」って、不思議な数ですねー。苦労（９ろう）と思わないでみなさん、調べてみましょう。
・・・と投げかけて授業を閉じます。
※その数は６１７４です。
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